Método por aproximaciones
La idea mas básica de la aproximación que muchos tienen es dada a una serie de datos que se basa en encontrar una función la cual su gráfica pase "cerca" de los datos y que, ademas, represente bien la forma de la nube de puntos determinada por los datos obtenidos. Hay dos derivadas de este método:
Interpolación: La gráfica de la función interpoladora ha de pasar exactamente por los datos
Aproximación: Este método sera el protagonista de esta pagina. La gráfica de la función que aproxima "solo" ha de pasar cerca de los datos.
El método de aproximación por mínimos cuadrados discreto
Para medir el error que cometemos con cada función, consideraremos el error cuadrático. Para entender mas claramente como se define este error, veamos un ejemplo concreto
Tenemos, pues, que el error cuadrático depende de los coeficientes de la recta,es decir, de a y b. Así, el problema de encontrar la recta que ajusta con el menos discreto para cualquier familia de funciones polinomiales. Una regla importante consiste en realizar una tabla de valores (cuyas columnas corresponden a los valores de x, y, x2, xy) y calcular la suma de los elementos de cada columna. La tabla debe tener la suma de los coeficientes, y en general, el sistema a resolver seria así:
(Σ1) a + (Σx) b = Σy
(Σx) a + (Σx2) b = Σ(xy)
Σ1 es igual al numero de datos considerados
Σx es la suma de las primeras componentes de cada dato
Σx2 es la suma de los cuadrados de las primeras componentes
Σy es la suma de los segundas componentes de cada dato.
Σxy es la suma de los productos de las componentes de cada dato
Si queremos aproximar por una parábola (esto es, una función del tipo y = a + bx + cx2) necesitaremos un sistema de tres ecuaciones para determinar biunivocamente los valores de a,b, c. Observando que, para la recta,la segunda ecuación se "puede obtener" a partir de la primera "sin mas que multiplicar por x" cada una de los sumarios. no es difícil imaginar que, para la parábola, el sistema necesario sera:
(Σ1) a + (Σx) b + (Σx2) c = Σy
(Σx) a + (Σx2) b + (Σx3) c = Σ(xy)
(Σx2) a + (Σx3) b + (Σx4) c = Σ(x2y)
Existe otra regla que es operando con matrices, consiste en que los datos de nuestro trabajo estén alineados, en ese caso se usuaria una recta y= a + bx para la que serian ciertas igualdades.
Otras funciones para aproximar
En el primer caso de trata de calcular una sucesión de soluciones de manera que, a ser posible, cada una sea mejor que la anterior. Para calcular dicha sucesión tenemos los métodos iterativos llamados de descenso (Por ejemplo los de máximo descenso o los de gradiente conjugado). La segunda vía se conoce como el método de linealizacion y es bastante simple a la hora de comprender los cálculos a realizar aunque, en general, proporciona un peor resultado (esto es un error cuadrático mayor) que el de la solución obtenida por un método de descenso. De todas formas, la aproximación obtenida es, en la practica, suficientemente buena.
Exponenciales
Consideramos que {(x0, y0) (x1, y1)},..., (xn, yn)} es el conjunto de datos que queremos aproximar mediante la familia de funciones exponenciales dada de la forma y = aebx. Para eliminar la función exponencial, introducimos el logaritmo neperiano y operamos.
y = aebx ⇒ In (y) = In (aebx) = In (ebx) = In (a) + bx = A + bx
Comprobamos así que hay una relación lineal (es decir, gráficamente están alineados sobre una recta) entre los valores de las primeras componentes (las x´s) y los neperianos delas segundas componentes (las y´s) de los datos originales. Ahora, calculando la recta por mínimos cuadrados para {(x0, y0), (x1,y1),..., (xn, yn)}= {(X0, In (yo)) (x1, In (y1)),..., (xn, In(yn))} obtenemos A y b. Por ultimo, para determinar el valor de la a en la exponencial, basta con hacer a = eA
Potenciales
Si queremos aproximar mediante la familia de funciones potenciales y = a b/x se toman los datos transformado {(Xⅰ, Yⅰⅰ) |0 ≤ ⅰ ≤n} = {(In (xⅰ) In (yⅰ)) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A + BX donde X = In (y) A = In (a) B = b.
Hiperbólicas
Para aproximar con la familia de funciones hiperbólicas y = a b/x se toman los datos transformado {(Xⅰ, Yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} = {(1/x, yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A + BX donde X = 1/x Y = y, A = a, B = b
Logísticas
Para aproximar con la familia de funciones logísticas y = 1/1+aebx tomamos los datos transformando {(Xⅰ, Yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} = {(xⅰ 1/yⅰ - 1) 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A+BX donde X= x, Y= 1/y - 1, A = In (a) B = b.
El método de aproximación por mínimos cuadrados discreto
Para medir el error que cometemos con cada función, consideraremos el error cuadrático. Para entender mas claramente como se define este error, veamos un ejemplo concreto
Tenemos, pues, que el error cuadrático depende de los coeficientes de la recta,es decir, de a y b. Así, el problema de encontrar la recta que ajusta con el menos discreto para cualquier familia de funciones polinomiales. Una regla importante consiste en realizar una tabla de valores (cuyas columnas corresponden a los valores de x, y, x2, xy) y calcular la suma de los elementos de cada columna. La tabla debe tener la suma de los coeficientes, y en general, el sistema a resolver seria así:
(Σ1) a + (Σx) b = Σy
(Σx) a + (Σx2) b = Σ(xy)
Σ1 es igual al numero de datos considerados
Σx es la suma de las primeras componentes de cada dato
Σx2 es la suma de los cuadrados de las primeras componentes
Σy es la suma de los segundas componentes de cada dato.
Σxy es la suma de los productos de las componentes de cada dato
Si queremos aproximar por una parábola (esto es, una función del tipo y = a + bx + cx2) necesitaremos un sistema de tres ecuaciones para determinar biunivocamente los valores de a,b, c. Observando que, para la recta,la segunda ecuación se "puede obtener" a partir de la primera "sin mas que multiplicar por x" cada una de los sumarios. no es difícil imaginar que, para la parábola, el sistema necesario sera:
(Σ1) a + (Σx) b + (Σx2) c = Σy
(Σx) a + (Σx2) b + (Σx3) c = Σ(xy)
(Σx2) a + (Σx3) b + (Σx4) c = Σ(x2y)
Existe otra regla que es operando con matrices, consiste en que los datos de nuestro trabajo estén alineados, en ese caso se usuaria una recta y= a + bx para la que serian ciertas igualdades.
Otras funciones para aproximar
En el primer caso de trata de calcular una sucesión de soluciones de manera que, a ser posible, cada una sea mejor que la anterior. Para calcular dicha sucesión tenemos los métodos iterativos llamados de descenso (Por ejemplo los de máximo descenso o los de gradiente conjugado). La segunda vía se conoce como el método de linealizacion y es bastante simple a la hora de comprender los cálculos a realizar aunque, en general, proporciona un peor resultado (esto es un error cuadrático mayor) que el de la solución obtenida por un método de descenso. De todas formas, la aproximación obtenida es, en la practica, suficientemente buena.
Exponenciales
Consideramos que {(x0, y0) (x1, y1)},..., (xn, yn)} es el conjunto de datos que queremos aproximar mediante la familia de funciones exponenciales dada de la forma y = aebx. Para eliminar la función exponencial, introducimos el logaritmo neperiano y operamos.
y = aebx ⇒ In (y) = In (aebx) = In (ebx) = In (a) + bx = A + bx
Comprobamos así que hay una relación lineal (es decir, gráficamente están alineados sobre una recta) entre los valores de las primeras componentes (las x´s) y los neperianos delas segundas componentes (las y´s) de los datos originales. Ahora, calculando la recta por mínimos cuadrados para {(x0, y0), (x1,y1),..., (xn, yn)}= {(X0, In (yo)) (x1, In (y1)),..., (xn, In(yn))} obtenemos A y b. Por ultimo, para determinar el valor de la a en la exponencial, basta con hacer a = eA
Potenciales
Si queremos aproximar mediante la familia de funciones potenciales y = a b/x se toman los datos transformado {(Xⅰ, Yⅰⅰ) |0 ≤ ⅰ ≤n} = {(In (xⅰ) In (yⅰ)) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A + BX donde X = In (y) A = In (a) B = b.
Hiperbólicas
Para aproximar con la familia de funciones hiperbólicas y = a b/x se toman los datos transformado {(Xⅰ, Yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} = {(1/x, yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A + BX donde X = 1/x Y = y, A = a, B = b
Logísticas
Para aproximar con la familia de funciones logísticas y = 1/1+aebx tomamos los datos transformando {(Xⅰ, Yⅰ) | 0 ≤ ⅰ ≤ n} = {(xⅰ 1/yⅰ - 1) 0 ≤ ⅰ ≤ n} y calculamos la recta Y = A+BX donde X= x, Y= 1/y - 1, A = In (a) B = b.
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